TRAVAMENTO NUMÉRICO DEVIDO À FORÇA CORTANTE EM ELEMENTOS FINITOS DE VIGA DE TIMOSHENKO

Autores

  • Guilhermy Félix Santiago Universidade Federal de Goiás (UFG), Goiânia, Goiás, Brasil - guilhermyfelix@discente.ufg.br
  • Kaio César Borges Benedetti Universidade Federal de Goiás (UFG), Goiânia, Goiás, Brasil - kaiobenedetti@ufg.br https://orcid.org/0000-0001-6952-9576
  • Arthur Álax de Araújo Albuquerque Universidade Federal de Goiás (UFG), Goiânia, Goiás, Brasil - arthuralax@ufg.br https://orcid.org/0009-0008-8622-6962

DOI:

https://doi.org/10.5216/reec.v21i1.80417

Palavras-chave:

Viga, Timoshenko;, Shear locking, Elementos finitos, Integração reduzida

Resumo

Elementos de viga são elementos estruturais que apresentam esforços de flexão e cisalhamento. Entretanto, como a energia de deformação devida aos esforços de cisalhamento é pequena quando comparada a energia de deformação à flexão, é comum desconsiderá-la nas análises de caso de estruturas usuais. No entanto, para vigas com relação altura/comprimento elevadas a parcela da energia devida à força cortante passa a ter um efeito relevante, não podendo ser desprezada. Nesse contexto, o presente trabalho busca explorar formulações de elementos finitos de viga baseadas nas teorias de Euler-Bernoulli e de Timoshenko.  É mostrado que os elementos finitos formulados a partir da teoria de Timoshenko apresentam problema de travamento numérico que acontece na parcela de energia de deformação da força cortante, chamado na literatura de Shear Locking. Para contornar esse problema três propostas são descritas neste trabalho, sendo elas: uso da integração reduzida seletiva, Campo Assumido de Deformação de Força Cortante (CADFC) e a formulação apresentada por Gere e Weaver (GW). Os resultados analisados foram os deslocamentos, momentos fletores e as forças cortantes para uma viga engastada com um carregamento concentrado em sua extremidade. Foi possível concluir que o travamento de força cortante é solucionado pelos procedimentos citados, no entanto a taxa de convergência para cada formulação ocorre de forma diferente.

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Biografia do Autor

Guilhermy Félix Santiago , Universidade Federal de Goiás (UFG), Goiânia, Goiás, Brasil - guilhermyfelix@discente.ufg.br

Engenheiro Civil pela Escola de Engenharia Civil e Ambiental (EECA) da Universidade Federal de Goiás (UFG)

Kaio César Borges Benedetti, Universidade Federal de Goiás (UFG), Goiânia, Goiás, Brasil - kaiobenedetti@ufg.br

Possui graduação em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Goiás (2015), mestrado em Geotecnia e Construção Civil pela Universidade Federal de Goiás (2018) e doutorado em Engenharia Civil pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (2022). Recebeu menção honrosa no Ali H. Nayfeh Awards (2021) e selecionado para o programa doutorado nota 10 (DSC-10) pela Faperj (2020). Atuou como pesquisador complementar do instituto Tecgraf na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (2018 - 2022). Fez estágio pós-doutoral na Università Politecnica delle Marche (11/2022 - 08/2023). Atualmente é professor efetivo da Universidade Federal de Goiás (2023). Tem experiência em mecânica estrutural não-linear não-determinística e análise dinâmica global, com ênfase em formulação variacional de modelos de ordem reduzida, métodos analíticos, semi-analíticos e numéricos.

Arthur Álax de Araújo Albuquerque, Universidade Federal de Goiás (UFG), Goiânia, Goiás, Brasil - arthuralax@ufg.br

Professor do Departamento de Estruturas da Universidade Federal de Goiás (UFG) desde 2021. Possui diploma de técnico em Construção Predial no Centro de Educação Tecnológica do Rio Grande do Norte (CEFET/RN - 2005), graduação em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN - 2011), mestrado em Engenharia Civil (Engenharia de Estruturas) pela Universidade de São Paulo na Escola de Engenharia de São Carlos (USP/EESC - 2014), doutorado em Engenharia Civil (Engenharia de Estruturas) pela Universidade de São Paulo na Escola de Engenharia de São Carlos (USP/EESC - 2019), doutorado sanduiche pelo Programa PDSE/Capes na University of Glasgow (University of Glasgow - 2017), pós-doutorado na Universidade de São Paulo no Departamento de Engenharia de Estruturas (USP/EESC/SET - 2021).

Referências

Abaqus. 2023. Software Documentation.

Albuquerque, A. A. A. 2014. Implementação de elementos finitos de barra e placa para a análise de esforços em tabuleiros de pontes por meio de superfícies de influência. Universidade de São Paulo, São Carlos.

Amir, M., K. G. Papakonstantinou, and G. P. Warn. 2020. A consistent Timoshenko hysteretic beam finite element model. Int. J. Non. Linear. Mech., 119 (June 2019): 103218. Elsevier Ltd. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2019.07.003.

Azevedo, A. F. M. 2003. Método dos elementos finitos. Porto: Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto.

Babu, C. R., and G. Prathap. 1986. A linear thick curved beam element. Int. J. Numer. Methods Eng., 23 (7): 1313–1328. https://doi.org/10.1002/nme.1620230709.

Baier-Saip, J. A., P. A. Baier, A. R. de Faria, J. C. Oliveira, and H. Baier. 2020. Shear locking in one-dimensional finite element methods. Eur. J. Mech. A/Solids, 79 (October 2019): 103871. Elsevier Masson SAS. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2019.103871.

Bathe, K.-J. 1996. Finite Element Procedures. New Jersey: Prentice Hall.

Bickford, W. B. 1990. A first course in the finite element method. United States: Richard D. Irwin, Inc.

Bismarck-Nasr, M. N. 1993. Finite elements in applied mechacnis. Brazil.

Caillerie, D., P. Kotronis, and R. Cybulski. 2015. A Timoshenko finite element straight beam with internal degrees of freedom. Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech., (39): 1753–1773. https://doi.org/10.1002/nag.2367.

Choi, J., and J. Lim. 1995. General curved beam elements based on the assumed strain fields. Comput. Struct., 55 (3): 379–386. https://doi.org/10.1016/0045-7949(95)98865-N.

Cook, R. D., D. S. Malkus, and M. . Plesha. 1989. Concepts and applications of finite element analysis. John Wiley Sons.

Diana. 2023. Diana documantation and Verification Report.

Duff, I.S. and Reid, J.K. (1983) The Multifrontal Solution of Indefinite Sparse Symmetric Linear. ACM Transactions on Mathematical Software, 9, 302-325.

Ergüven, M. E., and A. Gedikli. 2003. A mixed finite element formulation for Timoshenko beam on Winkler foundation. Comput. Mech., 31 (3–4): 229–237. https://doi.org/10.1007/s00466-003-0420-9.

Friedman, Z., and J. B. Kosmatka. 1993. An improved two-node timoshenko beam finite element. Comput. Struct., 47 (3): 473–481. https://doi.org/10.1016/0045-7949(93)90243-7.

Gallager, R. H. 1975. Finite element analysis: fundamentals. Englewwod Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Gere, J. M., and W. Weaver. 1987. Análilse de estruturas reticuladas. Rio de Janeiro: Guanabara.

Heyliger, P. R., and J. N. Reddy. 1988. A higher order beam finite element for bending and vibration problems. J. Sound Vib., 126 (2): 309–326. https://doi.org/10.1016/0022-460X(88)90244-1.

HSL. A collection of Fortran codes for large scale scientific computation. Versão 1.0. Oxford. Harwell Subroutine Library, 2011. Disponível em: < https://www.hsl.rl.ac.uk/>

Hsu, Y. S. 2016. Enriched finite element methods for Timoshenko beam free vibration analysis. Appl. Math. Model., 40 (15–16): 7012–7033. Elsevier Inc. https://doi.org/10.1016/j.apm.2016.02.042.

Hughes, T. J. R., M. Cohen, and M. Haroun. 1978. Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis of plates. Nucl. Eng. Des., 46 (1): 203–222. https://doi.org/10.1016/0029-5493(78)90184-X.

Hughes, T. J. R., and T. E. Tezduyar. 1981. Finite Elements Based Upon Mindlin Plate Theory With Particular Reference to the Four-Node Bilinear lsoparametric Element. J. Appl. Mech., 48 (September): 587–596.

Li, Y., H. Wang, and X. Zheng. 2023. A viscoelastic Timoshenko Beam Model: Regularity and Numerical Approximation. J. Sci. Comput., 95 (2): 1–21. Springer US. https://doi.org/10.1007/s10915-023-02187-5.

Lima, A. S. de, and A. R. de Faria. 2016. A C1 Beam Element Based on Overhauser Interpolation. Lat. Am. J. Solids Struct., 14: 92–112. https://doi.org/10.1590/1679-78253142.

Liu, G. R., and S. S. Quek. 2003. Finite Element Method: A Practical Course. Oxford: Butterworth-Heinemann.

Neves, R. de A. 2000. Cálculo de esforços e deslocamentos em estruturas de pisos de edifícios, considerando-se a influência das tensões cisalhantes. Universidade de São Paulo.

Nickel, R. E., and G. A. Secor. 1972. Convergence of consistently derived Timoshenko beam finite elements. Int. J. Numer. Methods Eng., 5 (2): 243–252. https://doi.org/10.1002/nme.1620050210.

Noor, A. K., and J. M. Peters. 1981. Mixed models and reduced/selective integration displacement models for nonlinear analysis of curver beams. Int. J. Numer. Methods Eng., 17 (4): 615–631. https://doi.org/10.1002/nme.1620170409.

Prathap, G., and G. R. Bhashyam. 1982. Reduced integration and the shear‐flexible beam element. Int. J. Numer. Methods Eng., 18 (2): 195–210. https://doi.org/10.1002/nme.1620180205.

Rakowski, J. 1990. The interpretation of the shear locking in beam elements. Comput. Struct., 37 (5): 769–776. https://doi.org/10.1016/0045-7949(90)90106-C.

Rakowski, J. 1991. A critical analysis of quadratic beam finite elements. Int. J. Numer. Methods Eng., 31 (5): 949–966. https://doi.org/10.1002/nme.1620310509.

Reddy, J. N. 1997. On locking-free shear deformable beam finite elements. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 149 (1–4): 113–132. https://doi.org/10.1016/S0045-7825(97)00075-3.

Reddy, J. N. 1999. On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite elements. Sadhana - Acad. Proc. Eng. Sci., 24 (3): 175–198. https://doi.org/10.1007/BF02745800.

Reddy, J. N. 2006. An Introduction to the Finite Element Method. Mc Graw Hill.

De Rosa, M. A., M. Lippiello, G. Armenio, G. De Biase, and S. Savalli. 2020. Dynamic analogy between Timoshenko and Euler–Bernoulli beams. Acta Mech., 231 (11): 4819–4834. Springer Vienna. https://doi.org/10.1007/s00707-020-02795-4.

Shimodaira, H. 1985. Equivalence between mixed models and displacement models sing reduced integration. Int. J. Numer. Methods Eng., 21 (1): 89–104. https://doi.org/10.1002/nme.1620210108.

Soriano, H. L. 2003. Método dos elementos finitos em análise de estruturas. São Paulo: Edusp - Editora da Universidade de São Paulo.

Soydas, O., and A. Saritas. 2013. An accurate nonlinear 3d Timoshenko beam element based on Hu-Washizu functional. Int. J. Mech. Sci., 74: 1–14. Elsevier. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2013.04.002.

Tessler, A., and S. B. Dong. 1981. On a hierarchy of conforming timoshenko beam elements. Comput. Struct., 14 (3–4): 335–344. https://doi.org/10.1016/0045-7949(81)90017-1.

Zienkiewicz, O. C., R. L. Taylor, and J. Z. Zhu. 2005. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. Elsevier Butterworth Heinemann.

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Publicado

2026-06-28

Como Citar

SANTIAGO , Guilhermy Félix; BORGES BENEDETTI, Kaio César; DE ARAÚJO ALBUQUERQUE, Arthur Álax. TRAVAMENTO NUMÉRICO DEVIDO À FORÇA CORTANTE EM ELEMENTOS FINITOS DE VIGA DE TIMOSHENKO . REEC - Revista Eletrônica de Engenharia Civil, Goiânia, v. 21, n. 1, p. 81–99, 2026. DOI: 10.5216/reec.v21i1.80417. Disponível em: https://revistas.ufg.br/reec/article/view/80417. Acesso em: 22 jul. 2026.

Edição

v. 21 n. 1 (2026): [REEC] Revista Eletrônica de Engenharia Civil - Vol. 21, n° 1, 2026

Seção

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